매듭이 단단한 3가지 원리?

MIT 색 변하는 섬유 활용해 분석

어떤 매듭은 다른 것보다 더 강하지만, 아직까지 그 이유를 과학적으로 설명하지 못하고 있다. 색깔이 바뀌는 섬유의 도움으로, 연구원들은 매듭의 기하학을 활용하여 다양한 매듭의 상대적 강도를 결정할 수 있는 간단한 수학 규칙을 개발했다.

MIT의 응용 수학자 비샬 파틸(Vishal Patil)은 “수천 년 동안 매듭이 다양하게 이용되어 왔지만, 매듭이 왜 단단하게 묶이는지에 대해서는 잘 알려져 있지 않다”고 말한다.

가장 단순한 매듭을 더 잘 이해하기 위해, 파틸과 동료들은 색 변화 섬유를 연구했다. 이 섬유로 짠 밧줄을 사용하면 밧줄에 압력이 가해지는 정도에 따라 색깔이 바뀌는 특징을 나타낸다. 이 매듭에 나타나는 압박은 연구자들의 컴퓨터 시뮬레이션에서 계산된 압박과 일치했다.

사이언스(Science) 저널에 발표한 논문에서 연구팀은 기하학에 바탕을 둔 수학적 공식을 이용한 컴퓨터 시뮬레이션을 사용하여, 두 밧줄을 연결하는 복잡한 매듭의 상대적 강도를 예측했다.

항해나 암벽 등반 또는 건설 현장 등 로프 확보가 필요한 모든 활동에서 어떤 매듭은 다른 매듭보다 강하다. 노련한 선원은 어떤 매듭은 삼각돛을 고정시키는데 좋은 반면, 다른 매듭은 배를 짐칸에 고정시키는 데 더 좋다는 것을 안다.

하지만 정확히 왜 어떤 매듭이 다른 매듭보다 안정되게 묶이는지는 지금까지 잘 이해되지 않았다. MIT 수학자들과 공학자들은 밧줄의 매듭이 팽팽하게 당겨질 때 로밧줄이 꼬이는 방향 등 몇 가지 핵심 특성을 바탕으로 그 매듭이 얼마나 안정적인지 예측하는 수학적 모델을 개발했다.

압력에 따라 색깔이 변하는 매듭. 노란색 부분이 압력이 높다. ⓒ Joseph Sandt

압력에 따라 색깔이 변하는 매듭. 노란색 부분의 압력이 높다. ⓒ Joseph Sandt

MIT의 존 던켈(Jörn Dunkel) 교수는 “매듭의 미묘한 차이가 매듭을 강도를 결정한다”면서 “이 모델을 이용하면 거의 비슷하게 보이는 두 개의 매듭을 비교해서 어느 것이 더 좋은지 말할 수 있어야 한다”고 말했다.

MIT 마티아스 콜레(Mathias Kolle) 교수 연구팀은 2018년, 압력이 가해지면 색깔이 바뀌는 신축성 있는 섬유를 개발했다. 이 섬유를 잡아당기면, 가장 큰 압력을 받은 부분에서 색깔이 다른 색으로 변한다.

기계공학과 교수인 콜레는 MIT 수학과의 초빙을 받아 이 색깔 변하는 섬유에 대한 강연을 했다. 던켈은 관중석에 앉아 아이디어를 짜내기 시작했다. 압력 감지 섬유를 사용하여 매듭의 안정성을 연구할 수 있다면?

수학자들은 오랫동안 ‘매듭 이론’을 고안하는 등 매듭에 흥미를 느껴왔다. 수학자들은 매듭을 수학적인 용어로 설명하려고 한다.

그러나 수학적 매듭 이론에서는 역학과 관련된 모든 것을 무시한다. 수학자들은 밧줄이 뻣뻣한 섬유인지 부드러운 섬유인지 상관하지 않는다. 수학자의 입장에서 볼 때 같은 매듭이기 때문이다.

하지만 던켈 교수는 “우리는 한 매듭이 왜 다른 매듭보다 더 강한지 말할 수 있도록 매듭의 기계적 특성이 수학적 모델링에 무언가 더할 수 있는지 알고 싶었다.”고 말했다.

던켈과 콜레는 무엇이 매듭의 안정성을 결정하는지 알아내기 위해 팀을 이루었다. 우선 콜레의 섬유를 이용해, 선원에게 익숙한 삼엽형 매듭과 8자형 매듭 등 다양한 매듭을 분석하고, 다른 한편으로 암벽 등반에서 자주 사용하는 매듭을 분석했다. 그들은 밧줄이 팽팽하게 당겨질 때 밧줄에 가해지는 힘에 따라 언제 어디서 색깔이 변했는지에 주목하면서 사진으로 찍었다.

매듭은 묶는 방법에 따라 단단한 정도가 다르다. ⓒ 픽사베이

매듭은 묶는 방법에 따라 단단한 정도가 다르다. ⓒ 픽사베이

콜레의 제자인 조셉 샌드(Joseph Sandt)는 이전에 섬유 실험을 바탕으로 색 지도를 작성했다. 이 색은 섬유에 가해지는 일정한 압력과 연관된다.

던켈은 이미 스파게티 매듭을 이용한 컴퓨터 시뮬레이션 모델을 만든 적이 있다. 연구팀이 실험한 매듭과 시뮬레이션한 매듭을 비교했을 때, 그들은 두 가지 색의 패턴이 사실상 동일하다는 것을 발견했다. 모델이 매듭의 응력 분포를 정확하게 시뮬레이션하고 있다는 징후였다.

그 후 연구팀은 모델에 대한 자신감을 가지고 더 복잡한 매듭을 분석, 어떤 매듭이 더 많은 압력을 받으며 따라서 다른 매듭보다 더 강한지 주목했다.    

교차하는 횟수가 많을수록 더 단단    

파틸과 동료들은 세 가지 특성이 매듭의 힘을 설명할 수 있다는 것을 발견했다.

첫째, 밧줄이 더 많이 교차할수록 매듭이 강해진다. 그리고 서로 교차할 때 밧줄의 꼬이는 정도도 중요한 역할을 한다.  밧줄이 반대 방향으로 꼬이면 매듭의 강도는 높아진다. 마지막으로 매듭을 조일 때 인접한 가닥이 반대 방향으로 묶이면 매듭도 튼튼해진다.

그러나 이 규칙은 각 매듭의 상대적인 힘만을 예측한다. 연구원들은 매듭을 묶는 데 사용되는 밧줄이나 섬유 등의 특징과 같은 세부 사항을 고려할 필요가 있다.

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