세상을 바꾼 17가지 방정식 (4)

[4월 과학의 달 특집] 상대성이론, 슈뢰딩거 방정식, 정보이론, 혼돈이론, 블랙-숄츠 방정식

영국의 수학자 이안 스튜어트 교수(Prof. Ian Stewart)가 소개한 ‘세상을 바꾼 17가지 방정식(17 Equations That Changed the World)’을 소개한 바 있다. 4월 과학의 달을 맞이하며 세상을 바꾼 방정식들에 관해서 간단히 알아보고자 한다. 오늘 소개할 다섯 가지 방정식은 17가지 방정식 중 마지막 편으로 주로 현대 물리학 및 현대 사회를 기술하는 이론 및 방정식들이다.

 

[13. 상대성이론 (Theory of relativity: 알베르트 아인슈타인 1905, 1916)]

상대성이론(혹은 상대론)은 시간과 공간을 정의하는 물리학 이론으로 세상에서 가장 유명한 공식이라고 불린다. 위 공식은 양자역학과 함께 현대 물리학에서 가장 중요한 이론 중 하나이며 우주를 설명하는 데 이용되는 이론이다. 상대성이론은 특수 상대성이론과 일반 상대성이론으로 나뉜다.

특수 상대성이론은 1905년 발표된 이론으로 시간과 공간은 속도에 따라서 ‘상대적’이며, 절대적이지 않다는 이론이다. 특수 상대성이론은 특수한 상황 즉, 관성계(정지해 있거나 등속도 운동을 하는 공간, 가속계가 아님)에서만 적용되는 상대성 이론이다.

특수 상대론은 ‘모든 관성계는 동등하다’라는 가정과  ‘진공에서의 빛의 속도는 어느 관성계에서나 일정하다’라는 두 가지 가정을 기반으로 시작된다. 특수 상대성이론의 결론으로는 관측자에 대해서 빠른 속도로 운동하는 물체는 길이가 짧아지며(‘길이 축소’), 시간이 느려지며(‘시간 지연’),  고전적인 운동량보다 더 큰 값을 가지게 된다는 점들이 있다. 또한 질량이 에너지로, 혹은 에너지가 질량으로 바뀔 수 있다.(E = mc의 제곱)

E는 에너지, m은 질량, c는 광속을 나타낸다. © 사이언스타임즈

일반상대성이론은 1916년 발표되었으며 중력이론이다. 특수 상대성이론과는 다르게 일반적으로 관성계, 가속계 모두에 적용할 수 있으며, ‘에딩턴의 태양의 일식 관측’, ‘아인슈타인의 링(중력렌즈 현상)’을 포함하여 블랙홀과 중력파까지 발견 및 검출이 되었으므로 중력을 다루는 이론 중 가장 정확하게 실험적으로 검증된 이론이라고 할 수 있다. 속도가 적당히 느린 경우에는 뉴턴 법칙과도 상응되는 이론이며, 뉴턴 법칙에서 중력이 당기는 힘이라면 상대론에서는 공간을 휘는 힘으로 정의된다.

일반 상대성이론은 ‘모든계(관성계, 가속계)에서 물리법칙은 같다’라는 가정과 ‘관성질량과 중력질량은 같은 측정값을 지니며 구별할 수 없다(등가원리)’는 두 가지 가정을 기반으로 시작된다. 일반 상대성이론의 결론으로는 중력은 시간을 휘어지게 하므로 크면 시간이 느리게 간다는 점, 우주는 수축하거나 팽창한다는 점, 아인슈타인 방정식을 통해서 물질이 곡률을 결정한다는 점 등을 들 수 있다.

상대성이론의 의미는 굳이 강조하지 않아도 많은 사람들이 알고 있을 정도로, 위 이론은 엄청난 파장과 업적을 남겼다. 상대성이론의 가장 큰 의미라면 일종의 사고 체계의 전환이라는 점을 들 수 있다. 상대성이론은 고전 물리학(뉴턴 물리학)의 종언을 알리며 새로운 물리학 표준을 제시했다.(물론 뉴턴 물리학이 쓸모 없는 것은 절대로 아니다. 일상생활에서는 대부분의 물리 현상들은 뉴턴 물리학으로 증명이 가능하며, 뉴턴 물리학은 여전히 두루두루 쓰이고 있다) 또한 양자역학과 함께 현대 물리학이라는 새로운 학문을 창시하며 우리가 누리는 최첨단 세상을 가능하게 만들어 준 고마운 이론이다.

 

[14. 슈뢰딩거 방정식 (Schrödinger equation: 에르빈 슈뢰딩거 1927)]

슈뢰딩거 방정식은 양자상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 기술하는 편미분방정식으로 계(시스템)의 파동 함수를 계산하고 이들이 시간에 따라 어떻게 동적으로 변하는지 알 수 있는 방정식이다. 위 방정식은 오스트리아의 천재 물리학자 에르빈 슈뢰딩거에 의해서 발표되었는데, 슈뢰딩거는 1935년 아인슈타인과 의견 교환 도중 제안된 ‘슈뢰딩거의 고양이 사고 실험’에 등장하는 그 슈뢰딩거이다.

슈뢰딩거 방정식은 양자상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 기술하는 편미분방정식이다. H는 해밀토니언 연산자(Hamiltonian Operator)를 나타내며 위 연산자의 고유값은 에너지이다. ψ는 파동함수를 나타낸다. 해밀토니언의 구체적인 형태는 기술하고자 하는 시스템에 따라 달라진다. © 사이언스타임즈

슈뢰딩거 방정식은 드 브로이의 물질파 이론을 일반화한 방정식으로 위 방정식이 의미 있는 이유는 물질이 가지고 있는 파동의 성질을 수학적으로 표현할 수 있다는 점에 있다. 슈뢰딩거 방정식은 다소 추상적인 의미인 파동함수에 관해서 다루는데 파동함수로부터 어떤 측정 결과의 확률분포를 알 수 있다. 이처럼 고전 물리학과는 다르게 예측된 확률적인 결과를 보여주므로 결과의 분포를 예측할 수 있다. 고전 운동방정식과 슈뢰딩거 방정식은 다루는 대상에 있어서 차이가 있지만 슈뢰딩거 방정식으로도 고전 역학적 문제(고전 역학적 근사 필요)를 해결할 수 있다.

슈뢰딩거 방정식은 앞서 설명한 대로 상대론과 함께 현대물리학이라는 새로운 학문을 새로 만든 방정식이다. 또한 고체 물리, 반도체 공학 등에서 매우 중요한 방정식이다.

 

[15. 정보이론 (Information theory: 클로드 섀넌 1948)]

정보이론은 디지털 정보의 정량화와 이를 통한 소통을 연구하는 이론으로 1920년대 해리 나이퀴스트(Harry Nyquist)와 랄프 하틀리(Ralph Hartley)에 의해 처음 정립된 것으로 알려져 있다. 클로드 섀넌(Claude Shannon)이 “의사소통의 수학적 이론(A Mathematical Theory of Communication)”이라는 논문을 발표하며 정보의 정량화가 어떻게 가능한지에 관한 연구를 세상에 알렸다.

정보이론은 어떤 확률분포 p에 대한 섀넌 엔트로피 H에 관해서 기술한 이론이다.  © 사이언스타임즈

위 이론에 따르면 모든 시그널과 의사소통은 측정할 수 있는 비트(bits: 기본단위)로 변환될 수 있다. 따라서 위 이론은 현재 우리가 살고 있는 디지털 시대의 기본이 되는 이론이다. 머신러닝에서도 cross-entropy나 쿨백-라이블러 발산(Kullback–Leibler divergence)등에서 해당 확률분포의 특성을 알아내거나 확률분포 간의 비교를 통해서 유사성을 정량화하는 데 자주 이용된다.

정보이론에 따르면 잘 일어나지 않는 사건은 자주 발생하는 사건보다 정보량이 많다. 항상 발생하는 사건은 정보의 내용과 관계없이 전혀 정보가 없다는 것을 뜻한다. 또한 독립 사건은 추가적인 정보량을 지니게 된다. 따라서 정보이론에서 가장 중요한 측정값은 무작위 변수 혹은 무작위 과정의 결과에 포함되어있는 ‘불확정성의 양’을 정량화한 엔트로피 H이다. 예를 들어, 확률 분포가 균일 할 수록 엔트로피 H가 높고, 치우쳐져 있을 수록 엔트로피 H가 낮다.

정보이론은 매우 다양한 분야로 이용된다. 통계학을 비롯한 컴퓨터공학, 정보공학, 전자공학 등에 이용되고 있으며 소스코딩, 알고리즘 정보 이론 등으로 매우 활발하게 응용되고 있다.

 

[16. 혼돈 이론 (Chaos theory: 로버트 메이 1976)]

우리가 사는 이 세상에는 무수한 카오스가 존재한다. 예를 들면, 여러 동식물의 분포수, 털 모양, 잎사귀 모양, 지질 활동, 날씨 및 기상 변화 주식 시장에서의 가격 변동 등 수많은 현상은 모두 비선형 시스템이다. 이를 수학적 이론을 적용하여 이해하고자 혼돈 이론이 탄생하게 되었다. 카오스 이론은 1950년대 공학 분야에서 처음 발견된 것으로 알려져 있으며 1976년 호주의 수리 생물학자 로버트 메이가 “매우 복잡한 동적 구조를 가지는 간단한 수학적 모형(Simple mathematical models with very complicated dynamics)”이라는 논문을 발표하며 세상에 본격적으로 알려지게 되었다.

이러한 혼돈 현상의 특징은 일정한 패턴이 관측되지 않으며 복잡성이 오래 지속된다는 점이다. 하지만, 이러한 복잡성 속에서도 주기운동과 유사한 운동법칙에 따라 현상이 보이므로 이를 통해서 어떠한 질서를 찾을 수 있다. 물론 혼돈 속에서 또 다른 비선형성이 존재하므로 이를 전체적으로 이해하기는 불가능에 가깝다. 결론적으로 혼돈계는 수학적으로 결과값이 초기 조건에 민감해야 하며,  위상 혼합성을 보이고 조밀한 주기적 궤도들을 가져야 한다.

혼돈 이론을 나타내는 방정식. k값은 선택된 상수이며 시간에 따라서 변하는 과정을 설명해주는 방정식. 초기값이 달라지면 결과값은 매우 달라지게 된다. © 사이언스타임즈

혼돈 이론은 이 세상을 지배하고 있는 만큼 우리 주변에서 쉽게 찾아볼 수 있다. 날씨는 혼돈이론의 전형적인 예이며, 흔히 설명하는 “나비효과(작은 초기 조건 즉 한 번의 나비 날갯짓이 다른 대륙에서 허리케인을 불러일으킬 수 있다는 효과)”등을 통해서 혼돈 이론을 경험할 수 있다.

 

[17. 블랙-숄즈 방정식 (Black-Scholes equation: 피셔 블랙, 마이런 숄즈 1990)]

또 다른 미분 방정식인 블랙-숄즈 방정식은 아인슈타인의 브라운운동 방정식으로부터 고안된 유럽형 옵션 가격 산출 방정식이다. 즉, 금융 전문가와 거래자가 파생 상품(주식과 같은 일부 기초 자산을 기반으로 하는 금융 상품)의 가격을 찾는 방법을 설명해주는 방정식이다. 피셔 블랙과 마이런 숄즈가 처음 고안했으며 이후 로버트 머튼이 정리했다.

블랙숄즈 방정식은 입력변수인 기초자산(S)과 시간(t)이 변화함에 따라서 결과값인 파생상품의 가치(V)가 어떻게 변하는지를 보여주는 방정식이다. 즉, 위 방정식을 통해 기초 자산, 시간 그리고 파생상품의 어떤 역학 관계가 있는지 파악할 수 있다. © 사이언스타임즈

블랙-숄즈 방정식은 어떤 옵션이 가진 위험에 관해서 기초자산의 가격변화와 어떠한 관계가 있는지 수치적으로 나타내준다. 위 방정식을 통해서 파생 상품 및 기초 자산의 속성을 기반으로 금융 전문가들은 금융 상품의 가치를 계산할 수 있게 되었고 이를 통해서 옵션 시장은 급성장하게 되었다. 또한, 금융공학에 핵심 적인 방정식으로 현재 시점의 이론적 공정가치를 추정해낼 수 있다는 점에 큰 의의를 갖는다.

 

*위 글은 이안 슈트어트 교수(Prof. Ian Stewart)의 저서 ‘17 equations that changed the world (세상을 바꾼 17가지 방정식)’의 도표를 기반으로 작성된 글임을 알려 드립니다.

[세상을 바꾼 17가지 방정식들 (1) 보러가기]

[세상을 바꾼 17가지 방정식들 (2) 보러가기]

[세상을 바꾼 17가지 방정식들 (3) 보러가기]

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