세상을 바꾼 17가지 방정식 (3)

[4월 과학의 달 특집] 푸리에 변환, 나비에-스토크스 방정식, 맥스웰 방정식, 열역학 제2법칙

영국의 수학자 이안 스튜어트 교수(Prof. Ian Stewart)가 소개한 ‘세상을 바꾼 17가지 방정식(17 Equations That Changed the World)’을 소개한 바 있다. 4월 과학의 달을 맞이하며 세상을 바꾼 방정식들에 관해서 간단히 알아보고자 한다. 오늘 소개할 네 가지 방정식은 수학 덕후나 물리학 덕후들이 가장 좋아하는 방정식들로 학문적으로 매우 활발하게 이용되고 있는 방정식들이다.

 

[9. 푸리에 변환 (Fourier transform: 조제프 푸리에 1822)]

푸리에 변환(Fourier transform)은 임의의 입력 신호를 다양한 주파수를 갖는 sin, cos 삼각 함수 등으로 이루어진 주기 함수들의 합들로 분해하여 표현하는 변환을 말한다. 입력 신호는 음성 신호나 전파 같은 시간 함수일 수 있으며 공간에 대한 함수가 될 수 있다. 푸리에 변환이 세상을 바꾼 이유는 입력신호와 상관없이 주기 함수들의 합으로 항상 분해할 수 있다는 점이다. 푸리에 변환을 통해서 원본 신호를 구성하는 주기 함수들은 고유의 주파수(frequency)와 강도(amplitude)를 지니고 있으며 주기 함수들을 모두 합치면 원본 신호와 같아진다.

푸리에 변환 © sciencetimes

푸리에 변환은 프랑스의 천재 수학자 조제프 푸리에가 고안해 냈으며 보기에는 복잡해 보이지만 의미 자체는 다소 간단한 변환이다. 복소지수함수를 삼각함수로 변환하는 ‘세상에서 가장 아름다운 공식’인 오일러의 공식을 생각해보면 (오일러의 공식 바로 가기) 이는 실수부가 cos(2πxw), 허수부가 -sin(2πxw)인 주기함수라는것을 알 수 있다.

오일러의 공식 © sciencetimes

오일러의 공식에 따르면 이는 실수부가 cos(2πxw), 허수부가 -sin(2πxw)인 주기함수와 같다는 것을 알 수 있다. © sciencetimes

즉, 두 주기함수 모두 주기(파동이 한번 진동하는 데 걸리는 시간)가 1/w이며 주파수(1초 동안의 진동 횟수: 주파수와 주기는 서로 역수 관계)는 w이므로 정현파(sinusoidal wave: 좌표평면 위에서 주기적인 모양을 갖는 열린 곡선 – 시작점과 끝점이 일치하지 않음)의 복소지수함수 표현임을 알 수 있다. 결론적으로 어떠한 복잡한 함수가 나오더라도 가능한 주파수의 주기 함수 결합으로 표현할 수 있다는 말과도 같다.

푸리에 변환은 통신 분야나 컴퓨터 영상처리 등에서 매우 활발하게 쓰이고 있다. 이뿐 아니라 간단한 함수들로 분해할 수 있는 푸리에 변환의 특성을 이용하여 편미분 방정식의 해로도 자주 사용되며 해석학 분야에서도 매우 다양하게 사용되고 있다.

 

[10. 나비에-스토크스 방정식 (Navier-Stokes equation) : 클로드 루이 나비에, 조지 가브리엘 스토크스 1845)]

나비에-스토크스 방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 방정식이다. 위 방정식은 유체를 기술하기 위해서 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)과 오일러의 유체역학 방정식(유체의 질량, 운동량 및 에너지의 보존에 관한 방정식)을 바탕으로 운동량 보존 법칙을 나타낸 방정식이다.

오일러의 유체역학 보존 방정식: ρ는 유체의 밀도, v는 속도를 나타낸다. © sciencetimes

나비에-스토크스 방정식의 좌변은 가속도에 관한 항이고 우변은 유체에 작용하는 단위 질량 당 힘을 나타내고 있다. 즉, 유체에 작용하는 압력(p), 외력이 재료에 작용할 때 그 내부에 생기는 저항력 (T), 물리적인 접촉 없이 유체 자체의 체적 전체에 분포되어 작용하는 힘 (f) 등에 의해서 유체의 가속도가 결정된다는 방정식이다. 위 방정식은 복잡한 만큼 아름다운 방정식으로 물리학 덕후들이 가장 사랑하는 방정식 중 하나로 불린다.

ρ는 유체의 밀도, v는 속도, p는 압력,  T는 외력이 재료에 작용할 때 그 내부에 생기는 저항력, f는 물리적인 접촉 없이 유체 자체의 체적 전체에 분포되어 작용하는 힘, ∇는 기울기, ∇·는 발산을 나타낸다. © sciencetimes

위 방정식은 고정된 좌표가 없는 유체의 운동을 기술할 수 있다는 점이 큰 장점이며 물리학과 공학의 거의 모든 분야에 사용되고 있다. 예를 들면, 날씨 모델, 해류 모델 등의 대기 대양 모델, 생체 내 혈류의 흐름, 그리고 비행기 날개 부분의 유체 흐름, 심지어 천문학에서 은하 내 별들의 움직임이나 플라스마의 움직임을 설명하는데에도 사용된다.

 

[11. 맥스웰 방정식 (Maxwell’s equations) :  제임스 클락 맥스웰 1865)]

맥스웰 방정식은 굳이 따로 설명할 필요가 없을 정도로 자연과학도와 공학도들에게 가장 사랑받는 방정식 중 하나이다. 맥스웰 방정식은 가우스 법칙, 가우스 자기 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르 회로 법칙을 통합한 방정식으로 전기/자기의 발생, 전기장과 자기장, 그리고 전하 밀도/전류 밀도의 형성을 나타내는 4개의 편미분 방정식으로 위 방정식을 통해서 빛은 전자기파임을 알 수 있게 되었다.

맥스웰 방정식의 미분형, 발산정리와 스토크스의 정리 등을 이용하면 적분형 역시 구할 수 있다. © sciencetimes

맥스웰의 방정식은 빛과 같은 전자기파의 특성을 설명하는데, 먼저 가우스 법칙은 하나의 전하에 의해 발생한 전기장의 세기를 기술한다. 위 방정식은 전자공학과 회로 이론에서 자주 이용된다. 두 번째 가우스 자기 법칙은 폐곡면의 총 자기 선속은 0이라는 의미인데, 홀극이 없으며 N극과 S극이 항상 함께 존재하는 자기의 특징상 일정한 공간으로 들어오는 자기력선과 나가는 자기력선의 크기는 언제나 같아서 서로 정반대의 방향으로 작용하는 크기의 힘의 합계는 언제나 0이라는 의미이다. 세 번째 패러데이 전자기 유도 법칙은 자기 선속이 변화함에 따라서 주변의 전기장이 발생한다는 법칙이며 이 원리는 발전소에서 교류 전류를 만들어내는 데 이용된다. 마지막, 앙페르 회로 법칙은 전류가 흐르는 전선을 따라서 자기장이 발생한다는 법칙이다. 이는 전동기에 자주 이용된다. 위 방정식들은 오래전부터 연구되어오면서 하나씩 정립되어 왔지만, 수학적으로 정리되지 않았었다. 맥스웰은 기존 연구 성과들을 한데 모아서 전기와 자기가 하나의 상호작용, 즉 전자기력에 의한 것임을 수학적으로 증명해냈다는 데에 큰 의의가 있다. 그는 이를 통해서 빛 역시 전자기파라는 것을 밝혔고, 전자기 복사의 발견을 예측하였다.

맥스웰 방정식은 티셔츠 도안으로도 자주 사용되는 인기 있는 방정식이다. © www.spreadshirt.at

위 방정식들은 전자기학에서 가장 기본이지만 가장 중요한 방정식들로 처음과 끝을 함께하는 방정식이다. 또한 위 방정식들을 기반으로 양자역학이 태동하게 되었으니, 맥스웰 방정식의 물리학적 업적은 강조할 필요조차 없을 것이다.

 

[12. 열역학 제2법칙 (Second law of thermodynamics :  루드비히 볼츠만 1874)]

열역학 제0법칙은 열적 평형 상태를 기술하는 법칙으로, 두 열역학계 A, B가 다른 열역학계 C와 각각 열평형 상태이면, A와 B도 열평형 상태라고 일컫는 법칙이다. 반면, 열역학 제1법칙은 에너지 보존의 법칙으로 고립계의 에너지 총합은 일정하다는 법칙(내부 에너지의 증가량 dU은 계에 더해진 열 에너지 dQ에서 계가 외부에 해준 일 dW을 뺀 양과 같다)이고, 열역학 제3법칙(네른스트-플랑크 정리)은 엔트로피(무질서 정도)가 절대영도에 가까워질수록 변화량(dS)이 0에 수렴하며, 절대영도에서의 엔트로피는 상수(C)가 된다는 법칙이다.

열역학 제2법칙. S는 엔트로피, Q는 열량, 그리고 T는 온도를 나타낸다.  © sciencetimes

위 네 가지 열역학 법칙들 중 유독 왜 고립계의 에너지는 증가하지 않는다는 열역학 제2 법칙이 세상을 변화시켰을까? 1824년 프랑스의 공학자 카르노는 모든 과정이 가역 과정이기에 최대의 일효율성을 만들 수 있는 가상 기관 ‘카르노 기관’을 제안하는데, 열역학 제2 법칙은 영구기관의 불가능성을 정리했던 법칙이다. 열역학 제2법칙은 에너지의 흐름은 엔트로피가 증가하는 방향으로 흐른다는 법칙인데, 위 법칙에 따르면 하나의 열원에서 열을 일로 바꾸면 어떤 외부의 변화도 일으키지 않는 영구기관의 제작은 불가능하다.(효율이 높은 기관의 제작은 가능, 영구기관 제작은 불가능)

방안에 뜨거운 커피가 있다고 가정할 시, 아주 높은 확률로 커피는 방안에 온도를 높이며 식어갈 것이다. 커피가 식은 상황은 발생활 확률이 높기 때문에 높은 엔트로피로 표현되지만, 커피가 식지 않을 상황은 낮은 엔트로피로 설명된다. 따라서 엔트로피는 확률에 의해서 지배받는 요소라는 점을 기술하는 법칙이다. 또한,  모든 현상은 엔트로피가 증가하는 방향으로 진행되기에 엔트로피가 증가하며 이미 식은 커피는 다시 저절로 뜨거워질 수 없다. 볼츠만은 이처럼 열에 대한 현상을 통계학 관점으로 이해하였고 결과적으로 통계역학이라는 새로운 분야를 발생시켰다.

 

*위 글은 이안 슈트어트 교수(Prof. Ian Stewart)의 저서 ‘17 equations that changed the world (세상을 바꾼 17가지 방정식)’의 도표를 기반으로 작성된 글임을 알려 드립니다.

[세상을 바꾼 17가지 방정식들 (1) 보러가기]

[세상을 바꾼 17가지 방정식들 (2) 보러가기]

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